Beschreibung univariater Datensätze II (3)
Aufgabe 3
Ein Markt mit zehn Unternehmen setzt insgesamt 15 Mio. € um und kann nach dem Umsatz in drei Klassen (klein, mittel, groß) unterteilt werden. Auf dem Markt agieren fünf kleine, vier mittlere Unternehmen und ein Marktführer. Die mittleren Unternehmen setzen dabei je 1,5 Mio. € um. Der Marktführer erzielt einen Umsatz von 6 Mio. €.
a) Zeichnen Sie die Lorenzkurve und bestimmen Sie den Gini-Koeffizienten. Beurteilen Sie die Konzentration.
b) Auf einem zweiten Markt agieren vier Unternehmen. Dabei beträgt \(G_2 = 0,39\). Welcher der beiden Märkte weist eine höhere Konzentration auf?
Lösung
a) Lorenzkurve
Zum Zeichnen der Lorenzkurve brauchen wir die sortierten (klein nach groß) Merkmalsausprägung und berechnen zudem folgende Werte, am besten tabellarisch:
| \(k\) | \(n_k\) | \(h_k\) | \(x_k\) | \(u_k = \sum h_k\) | \(v_k = \frac{\sum^k_{i=1} x_{[i]}}{\sum^n_{k=1} x_k}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 (klein) | 5 | 0.5 | 3 | 0.5 | 0.2 |
| 2 (mittel) | 4 | 0.4 | 6 | 0.9 | 0.6 |
| 3 (groß) | 1 | 0.1 | 6 | 1.0 | 1.0 |
| Summe | 10 | 1 | 15 |
Anschließend können wir den Gini-Koeffizienten \(G\) berechnen:
\[\begin{align*} G &= 1 - \sum^3_{k=1} (v_k + v_{k-1})(u_k - u_{k-1}) \\ \\ &= 1 - [0,2 \cdot 0,5 + 0,8 \cdot 0,4 + 1,6 \cdot 0,1] \\ &= 1 - 0,58 = 0,42 \end{align*}\]
Es gilt \(0 \leq G \leq \frac{n}{n-1}\), bei uns also \(0 \leq G = 0,42 \leq 0,9\).
Es liegt also eine mittelstarke Konzentration vor!
Wir können die Lorenzkurve nun zeichnen: 
b) Vergleich
Wir benötigen zum Vergleich die normierten Gini-Koeffizienten \(G^* = \frac{n}{n-1} \cdot G\):
\[\begin{align*} G^*_1 = \frac{10}{10-1} \cdot 0,42 = 0,4666 \\ \\ G^*_2 = \frac{4}{4-1} \cdot 0,39 = 0,52 \end{align*}\]
Es gilt also \(G^*_2 > G^*_1\), damit weißt der zweite Markt die höhere Konzentration auf (auch wenn ohne die Normierung die Aussage andersherum wäre, da \(G_1 > G_2\)).