Indizes und Zeitreihen
Aufgabe 1
Für 5 Güter sind die Preise \(p_{I,i}\) und \(p_{I,i}\) (\(i=1,...,5\)) und die Umsätze \(u_{I,i}\) und \(u_{II, i}\) für die Perioden \(I\) und \(II\) in der nachfolgenden Tabelle gegeben:
| \(i\) | \(p_{I,i}\) | \(p_{II,i}\) | \(u_{I,i}\) | \(u_{II,i}\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 6 | 50 | 48 |
| 2 | 4 | 6 | 200 | 240 |
| 3 | 10 | 9 | 80 | 144 |
| 4 | 8 | 10 | 48 | 40 |
| 5 | 3 | 3 | 30 | 24 |
a) Bestimmen Sie die Preisindizes nach Laspeyres und nach Paasche mit \(I\) als Basis- und \(II\) als Berichtsperiode.
b) Bestimmen Sie die Preisindizes nach Laspeyres und nach Paasche mit \(II\) als Basis- und \(I\) als Berichtsperiode.
Lösung zu Aufgabe 1
Zu erst brauchen wir eine Tabelle, welche die Mengen enthält. Diese können wir berechnen:
| \(i\) | \(p_{I,i}\) | \(p_{II,i}\) | \(u_{I,i}\) | \(u_{II,i}\) | \(q_{I,i}\) | \(q_{II,i}\) | \(p_{II,i} \cdot q_{I,i}\) | \(p_{I,i} \cdot q_{II,i}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 6 | 50 | 48 | 10 | 8 | 60 | 40 |
| 2 | 4 | 6 | 200 | 240 | 50 | 40 | 300 | 160 |
| 3 | 10 | 9 | 80 | 144 | 8 | 16 | 72 | 160 |
| 4 | 8 | 10 | 48 | 40 | 6 | 4 | 60 | 32 |
| 5 | 3 | 3 | 30 | 24 | 10 | 8 | 30 | 24 |
| \(\sum\) | - | - | 408 | 496 | - | - | 522 | 416 |
Mit den Beziehungen \(u = p \cdot q\).
a)
Es gilt: \[ P^\text{Las}_{I,II} = \frac{\sum_{i} p_{II,i} \cdot q_{I,i}}{\sum_{i} p_{I,i} \cdot q_{I,i}} = \frac{\sum_{i} p_{II,i} \cdot q_{I,i}}{\sum_{i} u_{I,i}} = \frac{522}{408} \approx 1,2794 \]
und für Paasche:
\[ P^\text{Pa}_{I,II} = \frac{\sum_{i} p_{II,i} \cdot q_{II,i}}{\sum_{i} p_{I,i} \cdot q_{II,i}} = \frac{\sum_{i} u_{II,i}}{\sum_{i} p_{I,i} \cdot q_{II,i}} = \frac{496}{416} \approx 1,1923 \]
b)
\[ P^\text{Las}_{II,I} = \frac{\sum_{i} p_{I,i} \cdot q_{II,i}}{\sum_{i} p_{II,i} \cdot q_{II,i}} = \frac{\sum_{i} p_{I,i} \cdot q_{II,i}}{\sum_{i} u_{II,i}} = \frac{416}{496} \approx 0,8387 \]
und für Paasche:
\[ P^\text{Pa}_{II,I} = \frac{\sum_{i} p_{I,i} \cdot q_{I,i}}{\sum_{i} p_{II,i} \cdot q_{I,i}} = \frac{\sum_{i} u_{I,i}}{\sum_{i} p_{II,i} \cdot q_{I,i}} = \frac{408}{522} \approx 0,7816 \]