Mehrdimensionale Zufallsvariablen II

Aufgabe 1

Als Tabelle inklusive Randsummen ergibt sich:

\(X_1 \backslash X_2\)	\(1\)	\(2\)	\(5\)	\(\Sigma\)
\(2\)	\(0.1\)	\(0.1\)	\(0.0\)	\(0.2\)
\(4\)	\(0.1\)	\(0.3\)	\(0.1\)	\(0.5\)
\(8\)	\(0.0\)	\(0.1\)	\(0.2\)	\(0.3\)
\(\Sigma\)	\(0.2\)	\(0.5\)	\(0.3\)	\(1\)

Mit der Tabelle ergeben sich:

\[\begin{align*} E(X_1) = 2 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.5 + 8 \cdot 0.3 = 4.8 \\ E(X_2) = 1 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.5 + 5 \cdot 0.3 = 2.7 \\ Var(X_1) = 2^2 \cdot 0.2 + 4^2 \cdot 0.5 + 8^2 \cdot 0.3 - 4.8^2 = 4.96 \\ Var(X_2) = 1^2 \cdot 0.2 + 2^2 \cdot 0.5 + 5^2 \cdot 0.3 - 2.7^2 = 2.41 \\ Cov(X_1,X_2) = E(X_1 \cdot X_2) - E(X_1) \cdot E(X_2) = 2.04 \end{align*}\]

• a) Damit ergibt sich:

\[ \Sigma_{\mathbf{X}} = \begin{pmatrix} 4.96 & 2.04 \\ 2.04 & 2.41 \end{pmatrix} \]

• b) Es gilt:

\[ \rho_{X_1,X_2} = \frac{Cov(X_1,X_2)}{\sqrt{Var(X_1) \cdot Var(X_2)}} = \frac{2.04}{\sqrt{4.96 \cdot 2.41}} \approx 0.59 \]

Der Korrelationskoeffizient wird dabei identisch zum Korrelationskoeffizient von Bravis-Pearson interpretiert.

Aufgabe 2

• a)

Für den Erwartungswert und die Varianz von \(X_1\) (analog auch für \(X_2\)) gilt:

\[ E(X_1) = 3.5 \quad \quad Var(X_1) = \frac{35}{12} \]

Da stoch. Unabhängigkeit Unkorreliertheit impliziert, ergibt sich:

\[ Cov(X_1;X_1+X_2) = Cov(X_1;X_1) + Cov(X_1;X_2) = Var(X_1) + 0 = \frac{35}{12} \]

Für die Varianz der Summe ergibt sich:

\[ Var(X_1+X_2) = Var(X_1) + Var(X_2) + 2 \cdot Cov(X_1;X_2) = 2 \cdot Var(X_1) \]

Für den Korrelationskoeffizienten ergibt sich dann:

\[ \rho_{X_1;X_1+X_2} = \frac{Cov(X_1;X_1+X_2)}{\sqrt{Var(X_1) \cdot Var(X_1+X_2)}} = \frac{\frac{35}{12}}{\sqrt{\frac{35}{12} \cdot 2 \cdot \frac{35}{12}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

• b) Es gilt bspw. für die Wahrscheinlichkeit \(P(X_1+X_1=12)=\frac{1}{36}\), da sie nur bei dem Wurf zweier Sechsen realisiert wird. Dementsprechend würe dann \(X_1-X_2=0\). Für die Wahrscheinlichkeit \(P(X_1-X_2=0)\) gilt allerdings \(P(X_1-X_2=0)=\frac{6}{36}\), da sie bei jedem Pasch realisiert wird. Somit gilt beispielhaft:

\[ \frac{1}{36} = P(X_1+X_2=12;X_1-X_2=0) \neq P(X_1+X_2=12) \cdot P(X_1-X_2=0) = \frac{1}{36} \cdot \frac{6}{36} \]

Folglich liegt keine stoch. Unabhängigkeit vor.

• c) Seien \(U:=X_1+X_2\) und \(V:=X_1-X_2\). Dann gilt:

\[\begin{align*} E(U) = E(X_1) + E(X_2) = 7 \\ E(V) = E(X_1) - E(X_2) = 0 \\ Cov(U;V) = E(UV) - E(U)E(V) = E(UV) = E((X_1+X_2) \cdot (X_1-X_2)) = E(X_1^2-X_2^2) = E(X_1^2) - E(X_2^2) = 0 \end{align*}\]

Somit sind \(X_1+X_2\) und \(X_1-X_2\) zwar unkorreliert, aber nicht stoch. unabhängig (vgl. \(a)\)).

Aufgabe 3

• a) Für die Kontingenztabelle ergibt sich:

\(X\) \(Y\)	\(-2\)	\(0\)	\(3\)	\(\Sigma\)
\(-1\)	\(0.15-c\)	\(0.05\)	\(0.1+c\)	\(0.3\)
\(1\)	\(c\)	\(0.15\)	\(0.55-c\)	\(0.7\)
\(\Sigma\)	\(0.15\)	\(0.2\)	\(0.65\)	\(1\)

Damit nur Wahrscheinlichkeiten (aus dem Bereich \([0;1]\)) resultieren, muss für \(c\in[0;0.15]\) gelten.

• b) Für die Erwartungswerte bzw. den Produkterwartungswert ergibt sich:

\[\begin{align*} E(X) = (-1) \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.7 = 0.4 \\ E(Y) = (-2) \cdot 0.15 + 0 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.65 = 1.65 \\ E(XY) = (-1) \cdot (-2) \cdot (0.15-c) + \ldots + 1 \cdot 3 \cdot (0.55-c) = 1.65 - 10c \end{align*}\]

Bedingung für die Unkorreliertheit ist eine Kovarianz von Null, also:

\[\begin{align*} Cov(X;Y) = 1.65 - 10c - 0.4 \cdot 1.65 = 0 \\ 10c = 0.99 \\ c = 0.099 \end{align*}\]

• c) Mit \(c=0.099\) ergibt sich bspw.

\[ 0.099 = P(X=1;Y=-2) \neq P(X=1) \cdot P(Y=-2) = 0.7 \cdot 0.15 = 0.105 \]

Es liegt folglich keine stoch. Unabhängigkeit vor.